三角函數：探索三角形與角度間的關係
導言
踏入三角學的領域，我們將探究三角形結構與其內角之間的微妙關係，特別關注於三個關鍵比率：正弦、餘弦和正切。
三角函數的定義
在一個直角三角形中，每個鋭角的三角函數表示該角對應邊的長度與斜邊長度的比率。這些比率不受三角形大小影響，因而被稱為「不變量」。
記憶技巧
巧妙地記住三角函數的定義，可以善用助記口訣「Sohcahtoa」：
- 正弦（Sin）：對邊（opposite）除以斜邊（hypotenuse）
- 餘弦（Cos）：鄰邊（adjacent）除以斜邊（hypotenuse）
- 正切（Tan）：對邊（opposite）除以鄰邊（adjacent）
單位圓中的三角函數
利用單位圓，可以將三角函數擴展到所有角度範圍。單位圓是一個半徑為 1 的圓，斜邊被映射為 x 軸正半軸。
週期性
三角函數具有週期性，週期為 360 度或 2π 弧度，表示它們的值會在這個區間內重複。正切和餘切函數的週期較短，為 180 度或 π 弧度。
恆等式
三角恆等式是一組恆真成立於所有角度的等式。它們可用於轉換相同角度的不同三角函數。一些常用的恆等式包括：
| 恆等式 | 用途 |
|---|---|
| sin² x + cos² x = 1 | 畢氏定理的代數表達式 |
| tan x = sin x / cos x | 正切為正弦除以餘弦 |
| cos (x + y) = cos x cos y – sin x sin y | 餘弦和角公式 |
應用與技術
三角函數在科學、工程和日常生活中的各種應用意例中扮演著至關重要的角色。從計算物體在坡道上的運動軌跡到測量恆星與地球之間的距離，三角函數都是不可或缺的工具。
結論
三角函數為我們提供了強大的工具，可以用於精確地描述三角形和角度之間的關係。通過掌握這些概念及其應用，我們可以深入理解周遭世界的許多現象。
斜邊分支對邊：探索三角形的對邊關係
斜邊分支對邊，是一個在三角形中常見的性質，它描述了斜邊與對邊之間的特定關係。
定義和定理
斜邊分支對邊定理： 在直角三角形中，斜邊上的任何一點與斜角對邊兩端連接，所形成的兩條線段將會相等。
換句話説，在一個直角三角形中，斜邊上的一點與對邊兩端的連線長度相等。
證明
假設在直角三角形 ABC 中，斜線 CD 平分斜角 BAC，則：
| 角 | 度數 |
|---|---|
| BAC | 90° |
| CAB | x |
| ABC | y |
根據第二角和：
x + y = 90°
根據三角形外角定理：
BCD = y + x
根據角平分線定理：
CBD = ABD = x
將 CBD 和 ABD 角度代入 BCD 角度：
BCD = CBD + ABD = 2x
因此：
2x = y + x
x = y
這證明瞭在斜線 CD 上取任何一點，與斜角對邊兩端的連線長度相等。
- 中位線定理： 三角形的每條中線（連接一條邊的中點到對角的角點）長度等於該邊的二分之一。
- 角平分線定理： 三角形的角平分線（將一個角平分成兩部分的線段）長度等於與其相鄰兩條邊長度乘積。
- 三角形相似性： 如果一個三角形和另一個三角形滿足斜邊分支對邊等性質，則這兩個三角形相似。
表格：斜邊分支對邊關係
| 斜邊點 | 連接到對邊兩端 | 長度 |
|---|---|---|
| 任一點 | 兩端 | 相等 |
數學問題
問題： 在一個直角三角形中，斜邊長度為 10 公分，對邊長度分別為 6 公分和 8 公分。求從斜邊中點到對邊兩端的連線長度。
解法： 根據斜邊分支對邊定理，斜邊中點到對邊兩端的連線長度等於對邊長度。因此，連線長度為 8 公分。